Question

已知函數f(x)=

2|x+m-1|

x-4

，m＞0，滿足f（2）=-2，
（1）求實數m的值；
（2）判斷y=f（x）在區間（-∞，m-1]上的單調性，并用單調性定義證明；
（3）若關于x的方程f（x）=kx有三個不同實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（2）=-2即m＞0即可求出；
（2）利用（1）先求出其解析式及單調區間，再利用定義證明即可；
（3）通過對x分別就x＞0、x=0、x＜0三種情況的解的情況討論即可．

解答：解：（1）由f（2）=-2，m＞0⇒

2|1+m|

-2

=-2，m＞0，解得m=1．
（2）由（1）可知：m=1，∴f(x)=

2|x|

x-4

．
因此只研究函數f（x）=

2|x|

x-4

=

2x

4-x

在區間（-∞，0]上的單調性即可．
此函數在區間（-∞，0]上單調遞增．
證明：設x₁＜x₂≤0，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4-x1

-

2x2

4-x2

=

8(x1-x2)

(4-x1)(4-x2)

，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，4-x₁＞0，4-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在（-∞，0]上單調遞增．
（3）原方程即為

2|x|

x-4

=kx（*）
①當x=0時，方程成立，即x=0是方程（*）的一個實數根；
②當x＜0時，方程（*）?

-2

x-4

=k，x＜0?x=4-

2

k

＜0?0＜k＜

1

2

，
即當0＜k＜

1

2

時，方程（*）在區間（-∞，0）有唯一一個實數根，此外無解；
③當x＞0且x≠4時，方程（*）?

2

x-4

=k，x＞0且x≠4?x=4+

2

k

＞0，解得k＜-

1

2

或k＞0．
∴k∈(-∞，-

1

2

)∪(0，+∞)時，方程（*）在區間（0，+∞）有一個實數根，此外無解．
綜上可知：要使原方程有三個不同實數根，當且僅當k滿足原方程在（-∞，0）和（0，+∞）
各有一個實數解時才成立，此時，k∈(0，

1

2

)．
∴實數k的取值范圍為(0，

1

2

)．

點評：熟練掌握函數的單調性和分類討論的思想方法是解題的關鍵．