Question

已知x、y、z∈R,a、b、c∈R⁺,求證：x²+y²+z²≥2(xy+yz+zx).

Answer 1

分析一：兩端都是多項式，可用作差法證.

證明：∵x²+y²+z²-2(xy+yz+zx)

=x²-2xy+y²+x²-2zx+z²+y²-2yz+z²

=(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²≥0,

∴x²+y²+z²≥2(xy+yz+zx).

評述：配方技巧的實現關鍵在于合理分項.

分析二：由左端向右端轉化，需消去a、b、c，且右端是乘積的和，故可用“a²+b²≥2ab”.

證明：x²+y²+z²

=(x²+y²)+(x²+z²)+(y²+z²)(∵a、b、c∈R⁺)

≥2·xy+2·xz+2·yz=2(xy+yz+zx).

評述：尋異求同是證明不等式的基本思路.