Question

求復雜區域的體積往往需要經歷將其分割后求其各部分的體積，最后再求和的過程．試運用此思想考慮如下問題：在一個棱長為6 cm的正方體盒子中，放一個半徑為1 cm的小球，任意搖動盒子，問：

(1)盒子內的哪些空間小球不能到達？

(2)你能求出小球不能到達的空間的體積嗎？

Answer 1

答案：
解析：

顯然小球不能到達的空間位于正方體的頂點和棱處的“邊角”地區． 　　不妨分析一個頂點處的情形，小球無論怎樣靠近角落，總有一部分空間不能到達，如圖1所示為切下小球的的情形，其不能到達的空間體積可以通過立方體體積減小球可以到達部分體積得到，即為V1＝1－． 　　另一個不能到達的空間是小球與盒子相鄰的兩個面之間形成的(其豎直的一條棱處的俯視圖如圖2)，在一條棱處(除去兩端的兩個角落)不能到達的空間可以看成底面是一個正方形去掉一個四分之一圓的柱體(圖的陰影部分)，它的高為4 cm，其體積為V2＝(4－π)cm3． 　　所以小球不能到達的空間的體積為8V1＋12V2＝．

提示：

在計算體積時，有時需要把一種幾何體拼補成另一種幾何體；有時需要把較復雜的幾何體(或組合體)分割成幾個簡單的幾何體，從而求出它們的體積，這種常用的求幾何體表面積或體積的方法，應熟練掌握．