Question

已知點A（2，0），點M為曲線y=

x+2

上任意一點，點P為AM的中點；點P的軌跡為C；
（1）求動點P的軌跡C的方程F（x，y）=0；
（2）將軌跡C的方程變形為函數y=f（x）；請寫出此函數的定義域、值域、單調區間、奇偶性、最值等（不證明），并畫出大致圖象．
（3）若直線l：y=

x

10

+1與軌跡C有兩個不同的公共點B，K，且點G的坐標為(

1

8

，0)，求|BG|+|KG|的值．

Answer 1

分析：（1）已知點P為AM的中點，設M（x₁，y₁），P（x，y），由中點坐標公式建立方程，用P點的坐標表示出M點的坐標，再代入書籍的解析式即可求出點P的軌跡為C；
（2）根據函數的解析式寫出數的定義域、值域、單調區間、奇偶性、最值等，圖象如圖；
（3）設B（x₁，y₁），k（x₂，y₂），將直線與軌跡C聯立求得有y₁+y₂=5，y₁y₂=5，再由拋物線的性質得到|BG|+|KG|=x1+x2+

1

8

+ 

1

8

=2y1 2+2y2 2+

1

4

=（y₁₊y₂）²-4y₁y₂+

1

4

即可求得|BG|+|KG|的值．

解答：解：（1）已知點P為AM的中點，設M（x₁，y₁），P（x，y）
則

x= x1+2 2 y= y1 2

得

x1=2x-2 y1=2y

∵點M為曲線y=

x+2

上任意一點

y1=

x1+2?

即2y=

2x-2y+2

，即y=

2

2

x

故軌跡C的方程是y=

2

2

x

（2）y=f（x）=

2

2

x

，此函數的性質如下，圖象如圖；

（3）由直線l與軌跡C相交于B（x₁，y₁），k（x₂，y₂），得

y= 2 2 x y= x 10 +1

，消元得y²-5y+5=0，故有y₁+y₂=5，y₁y₂=5
軌跡C是拋物線y2=

x

2

（y≥0）的一部分，此拋物線的焦點坐標為（

1

8

，0），準線方程為x=-

1

8

所以|BG|+|KG|=x1+x2+

1

8

+ 

1

8

=2y1 2+2y2 2+

1

4

=（y₁₊y₂）²-4y₁y₂+

1

4

=30

1

4

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題的關鍵是根據題設條件靈活選用方法，求得軌跡C的方程，再由其方程對應的曲線的類型選擇求值的方法．