Question

已知函數f（x）、g（x）對任意實數x、y都滿足條件
①f（x+1）=3f（x），且，
②g（x+y）=g（x）+2y，且g（6）=15，（n為正整數）
（1）求數列{f（n）}、{g（n）}的通項公式；
（2）設an=g[f（n）]，求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）由條件①中f（x+1）=3f（x），得為常數，
可知{f（n）}是以3為公比的等比數列，
又∵f（1）=f（1+0）=3f（0）=1，
∴f（n）=1×3 ^n﹣1=3 ^n﹣1
在條件②中，令x=n，y=1，得
g（n+1）=g（n）+2，
可知{g（n）}是以2為公差的等差數列，
∴g（n）=g（6）+（n﹣6）2=2n+3，
即g（n）=2n+3
（2）由（1）得
a_n=g[f（n）]=2f（n）+3=2×3 ^n﹣1+3，
∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n==3ⁿ+3n﹣1．