Question

（2012•東城區模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為

2

2

．以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 如圖，若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點A，M，N（A點在橢圓右頂點的右側），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．
（ⅰ）求證：直線l過定點（2，0）；
（ⅱ）求斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意知e=

c

a

及c²=a²-b²可得a，b之間的關系，由圓與直線相切的性質可求b，進而可求a，從而可求橢圓的方程
（II）由題意可設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．，聯立直線與橢圓方程，根據方程有根的條件可得△＞0，從而可得關于m，k的不等式，然后根據方程的根與系數關系可求則x₁+x₂，x₁x₂，由∠NF₂F₁=∠MF₂A．可得KMF2+KNF2=0，根據直線的斜率公式代入可求m，k的關系，然后代入已知不等式即可求解k的范圍

解答：解：（I）由題意知e=

c

a

=

2

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又因為b=

2

1+1

=1，所以a²=2，b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1（5分）
（II）由題意，設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）.

y=kx+m x2+2y2=2

得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-2)=0．
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，得m²＜2k²+1．
則有x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．（7分）
因為∠NF₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，
所以kMF2+kNF2=0，又F2(1，0)（8分）

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化簡得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
將x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

代入上式得m=-2k（滿足△＞0）．
直線l的方程為y=kx-2k，即直線過定點（2，0）（12分）
將m=-2k代入m²＜2k²+1．得 4k²＜2k²+1．且k≠0
直線l的斜率k的取值范圍是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)．（14分）

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程及直線與橢圓位置關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于圓錐曲線知識的綜合應用