Question

已知S_n是正項數列{a_n}的前n項和，且是與（a_n+1）²的等比中項．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）若，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）若對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當 n≥2時，，
兩式相減，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于數列{a_n}是正項數列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以數列{a_n}是首項a₁=1，d=2的等差數列，a_n=2n-1；
（2），
相減化簡得
（3）∵
當n=1，b₂＞b₁，當n≥2，b_n+1＜b_n，故當n=2時，b₂取到最大值．
又對一切正整數n恒成立，即
解得m≤-1或m≥5
分析：（1）由是與（a_n+1）²的等比中項，可得，兩式相減可求．
（2），故用裂項求和法求解；
（3）先求數列{b_n}的最大值，進而轉化為解不等式．從而求出參數范圍．
點評：本題主要考查等差數列的定義，裂項求和法及借助于最值解決恒成立問題，屬于中檔題．