Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a=-

3

2

，b=-6，c=1，求f（x）在[-2，4]上的最大值與最小值；
（Ⅱ）設函數f（x）的圖象關于原點O對稱，在點P（x₀，f（x₀））處的切線為l，l與函數f（x）的圖象交于另一點Q（x₁，y₁）．若P、Q在x軸上的射影分別為P₁、Q₁，

OQ1

=λ

OP1

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導函數得到函數的駐點，然后在[-2，4]上利用駐點分區間討論函數的增減性得到函數的最值即可；
（Ⅱ）根據奇函數定義f（-x）=-f（x）求出a和c得到f（x）解析式并求出導函數在點P（x₀，f（x₀））寫出切線方程，與f（x）解析式聯立求出公共解，再根據

OQ1

=λ

OP1

求出λ的值即可．

解答：（Ⅰ）若a=-

3

2

，b=-6，c=1，f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）

最小值為f（2）=-9，最大值為f（4）=17，
（Ⅱ）由已知得：函數f（x）=x³+ax²+bx+c為奇函數
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx
∴f′（x）=3x²+b
∵切點為P（x₀，y₀），其中y₀=f（x₀），
則切線l的方程為：y=（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀
由

y=(3x02+b)(x-x0)+y0  y=x3+bx

得x³+bx=（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀
又y₀=f（x₀）=x₀³+bx₀
∴x³-x₀³+b（x-x₀）-（3x₀²+b）（x-x₀）=0
∴（x-x₀）（x²+x₀x-2x₀²）=0
∴（x-x₀）²（x+2x₀）=0
∴x=x₀或x=-2x₀，由題意知，x₀≠0
從而x₁=-2x₀
∵

OQ1

=λ

OP1

∴x₁=λx₀
∴λ=-2

點評：此題考查學生利用導數求閉區間上函數的最值能力，利用導數研究曲線上某點切線方程的能力．