Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同時為零的常數），導函數為f′（x）．
（1）當a=

1

3

時，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數y=f′（x）在（-1，0）內至少有一個零點；
（3）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=

1

3

時，f′（x）=x2+2bx+b-

1

3

=(x+b)2-b2+b-

1

3

，由二次函數的性質，分類討論可得答案；
（2）因為f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），所以f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′(-

1

3

)=

b-2a

3

．再由a，b不同時為零，所以f′(-

1

3

)•f′(-1)＜0，故結論成立；
（3）將“關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根”轉化為“函數f（x）與y=-

1

4

t的交點”問題解決，先求函數f（x）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數，可解得b=0，所以f（x）=ax³-ax，再由“f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0”解得a，從而得到f（x），再求導，由f′(x)=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)，知f（x(-∞，-

3

3

) ， (

3

3

，+∞)上是増函數，在[-

3

3

，

3

3

]上是減函數，明確函數的變化規律，再研究兩個函數的相對位置求解．

解答：解：（1）當a=

1

3

時，f′（x）=x2+2bx+b-

1

3

=(x+b)2-b2+b-

1

3

，
其對稱軸為直線x=-b，當

-b≥-2 f′(-3)＞0

，解得b＜

26

15

，
當

-b＜-2 f′(-1)＞0

，b無解，
所以b的取值范圍為(-∞ ， 

26

15

)；（4分）
（2）因為f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′(-

1

3

)=

b-2a

3

．
由于a，b不同時為零，所以f′(-

1

3

)•f′(-1)＜0，故結論成立．
（3）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因為f′(x)=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)
所以f（x）在(-∞，-

3

3

) ， (

3

3

，+∞)上是増函數，
在[-

3

3

，

3

3

]上是減函數，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，當-1＜t≤-

3

3

時，f(t)≥-

1

4

t≥0，即t3-t≥-

t

4

，解得-

3

2

≤t≤-

3

3

；
當-

3

3

＜t≤0時，f(t)＞-

1

4

t≥0或-

1

4

t=f(-

3

3

)，解得-

3

3

＜t＜0；
當0＜t≤

3

3

時，f(t)≤-

1

4

t＜0或-

1

4

t=f(-

3

3

)，即t3-t≤-

t

4

，解得0＜t≤

3

3

；
當1＞t＞

3

3

時，f(t)＜-

1

4

t＜0或-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)，故

3

3

＜t＜

3

2

．
當1≤t＜

2 3

3

時，-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)，解可得t=

8 3

9

，
當t≥

2 3

3

時，f(

2 3

3

)＜-

1

4

t≤f(t)，無解．
所以t的取值范圍是-

3

2

≤t＜0或0＜t＜

3

2

或t=

8 3

9

．

點評：本題主要考查利用導數法研究函數的單調性，主要涉及了函數的奇偶性，函數的圖象和性質以及方程的根轉化為函數圖象的交點解決等問題．