Question

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓

心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．

（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一個更一般的結論？并且對雙曲線寫出一個類似的結論（皆不必證明）．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由題知圓圓心為，半徑為，設動圓的圓心為

半徑為，，由,可知點在圓內，所以點的軌跡是以為焦點

的橢圓，設橢圓的方程為，由，得，

故曲線的方程為                  ………………………………4分

（Ⅱ）當時，由可得

當，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點

當，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點

當時得，代入，消去整理得：

--------------------------------①  …………6分

由點為曲線上一點，故．即

于是方程①可以化簡為：

解得．將代入得，說明直線與曲線有且只有一個交點．

綜上，不論點在何位置，直線：與曲線恒有且只有一個交點，交點即                               …………………………………………8分

（Ⅲ）更一般的結論：對橢圓，過其上任意一點的切線方程為；

在雙曲線中的類似的結論是：過雙曲線 上任意一點的切線方程為：．…………………………………12分

【解析】略