Question

如圖所示，A為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂．當AC垂直于x軸時，恰好AF₁∶AF₂＝3∶1．

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設＝λ₁，AF₂＝λ₂，試判斷λ₁＋λ₂是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當AC垂直于x軸時，|AF1|∶|AF2|＝3∶1． 　　由|AF1|＋|AF2|＝2a，得|AF1|＝，|AF2|＝． 　　在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋(2c)2， 　　所以()2＝()2＋(2c)2，由此解得e＝． 　　(2)由e＝，則＝＝＝，b＝c，焦點坐標為F1(－b，0)，F2(b，0)，則橢圓方程為＋＝1，化簡得x2＋2y2＝2b2． 　　設A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)， 　　①若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為y＝(x－b)，代入橢圓方程有(3b2－2bx0)y2＋2by0(x0－b)y－b2y02＝0． 　　由韋達定理，得y0y2＝， 　　所以y2＝． 　　所以λ2＝＝＝，同理，可得λ1＝＝，故λ1＋λ2＝＝6． 　�、谌糁本�AC⊥x軸，x0＝b，λ2＝1，λ1＝＝5， 　　∴λ1＋λ2＝6． 　　綜上所述，λ1＋λ2是定值6． 　　解析：本題在解決過程中要注意充分利用橢圓的定義以及向量與相關的線段長度間的關系，從而將問題解決．