Question

已知函數f(x)=ln(1+x)-

x(1+λx)

1+x

．
（I）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）設數列{a_n}的通項a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，證明：a2n-an+

1

4n

＞ln2．

Answer 1

分析：（I）由于已知函數的最大值是0，故可先求出函數的導數，研究其單調性，確定出函數的最大值，利用最大值小于等于0求出參數λ的取值范圍，即可求得其最小值；
（II）根據（I）的證明，可取λ=

1

2

，由于x＞0時，f（x）＜0得出

x(2+x)

2+2x

＞ln(1+x)，考察發現，若取x=

1

k

，則可得出

2k+1

2k(k+1)

＞ln(

k+1

k

)，以此為依據，利用放縮法，即可得到結論

解答：解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）=

(1-2λ)x-λx2

(1+x)2

，且f′（0）=0…3分
若λ＜

1

2

，則當0＜x＜2（1-2λ）時，f′（x）＞0，所以當0＜x＜2（1-2λ）時，f（x）＞0，
若λ≥

1

2

，則當x＞0時，f′（x）＜0，所以當x＞0時，f（x）＜0
綜上，λ的最小值為

1

2

…6分
（ II）令λ=

1

2

，由（I）知，當x＞0時，f（x）＜0，即

x(2+x)

2+2x

＞ln(1+x)
取x=

1

k

，則

2k+1

2k(k+1)

＞ln(

k+1

k

)…9分
于是a_2n-a_n+

1

4n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

+

1

4n

=

1

2(n+1)

+

1

2(n+1)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+1)

+…+

1

4n

+

1

4n

+

1

4n

=

1

2n

+

1

2(n+1)

+

1

2(n+1)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+1)

+…+

1

4n

=

2n-1

k=n

(

1

2k

+

1

2(k+1)

)
=

2n-1

k=n

2k+1

2k(k+1)

＞

2n-1

k=n

ln(

k+1

k

)=ln2n-lnn=ln2
所以a2n-an+

1

4n

＞ln2…12分

點評：本題考查了數列中證明不等式的方法及導數求最值的普通方法，解題的關鍵是充分利用已有的結論再結合放縮法，本題考查了推理判斷的能力及轉化化歸的思想，有一定的難度