Question

已知函數為偶函數．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）記集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，，判斷λ與E的關系；
（Ⅲ）當x∈（m＞0，n＞0）時，若函數f（x）的值域為[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據函數為偶函數f（-x）=f（x），構造關于a的方程組，可得a值；
（II）由（I）中函數f（x）的解析式，將x∈{-1，1，2}代入求出集合E，利用對數的運算性質求出λ，進而根據元素與集合的關系可得答案
（III）求出函數f（x）的導函數，判斷函數的單調性，進而根據函數f（x）的值域為[2-3m，2-3n]，x∈，m＞0，n＞0構造關于m，n的方程組，進而得到m，n的值．
解答：解：（I）∵函數為偶函數．
∴f（-x）=f（x）
即=
∴2（a+1）x=0，
∵x為非零實數，
∴a+1=0，即a=-1
（II）由（I）得
∴E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，}
而====
∴λ∈E
（III）∵＞0恒成立
∴在上為增函數
又∵函數f（x）的值域為[2-3m，2-3n]，
∴，
又∵，m＞0，n＞0
∴m＞n＞0
解得m=，n=
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性，其中利用奇偶性求出a值，進而得到函數的解析式，是解答的關鍵．