Question

命題p：冪函數y=x

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在（-∞，0）上單調遞減；命題q：已知函數f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，且f（a），f（b），f（c）能構成一個三角形的三邊長，且4＜m＜8，則（　　）

• A、p且q為真命題
• B、p或q為假命題
• C、（￢p）且q為真命題
• D、p且（￢q）為真命題

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：由冪函數易判命題p為真命題；求導數可得函數的單調性，結合三角形的三邊關系可的m的范圍，可判命題q為假命題；由復合命題的真假可得．

解答： 解：∵冪函數y=x

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是偶函數，在（0，+∞）單調遞增，
在（-∞，0）上單調遞減，∴命題p為真命題；
∵f（x）=x³-3x²+m，∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＜0可得0＜x＜2，
∴函數f（x）=x³-3x²+m在（1，2）單調遞減，在（2，3）單調遞增，
∵f（3）=m＞f（1）=m-2，∴函數f（x）在[1，3]的最大值為f（3）=m，
最小值為f（2）=m-4，
由三角形的三邊關系可得（m-4）+（m-4）＞m，解得m＞8，
故命題q為假命題；
故p且（￢q）為真命題
故選：D

點評：本題考查復合命題的真假，涉及函數的單調性和導數，屬基礎題．