Question

已知函數f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象與直線y=b （-1＜b＜0）的三個相鄰交點的橫坐標分別是1，3，7．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求x∈[0，1]時f（x）的值域；
（Ⅱ）試敘述y=f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經怎樣變換而得到．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出T，然后求出ω，利用對稱性，確定φ，求得f（x）的解析式，根據x∈[0，1]，求出

π

3

x+

5

6

π∈[

5

6

π，

7

6

π]，推出f（x）的值域；
（Ⅱ）y=f（x）的圖象是由y=sinx的圖象先向左平移，再橫坐標縮短到原來的

3

π

倍而得到．也可以先縮短，后平移即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意得：T=6∴ω=

π

3

即f(x)=sin(

π

3

x+φ)
又f（x）關于直線x=2對稱
∴

2

3

π+φ=

π

2

+kπ，0＜φ＜π
∴φ=

5

6

π
∴f(x)=sin(

π

3

x+

5

6

π)，
若x∈[0，1]，則

π

3

x+

5

6

π∈[

5

6

π，

7

6

π]
∴f（x）的值域為[-

1

2

，

1

2

]
（Ⅱ）y=sinx的圖象向左移

5

6

π得到y=sin(x+

5

6

π)；
再把該圖象的橫坐標縮短到原來的

3

π

倍（縱坐標不變）得到y=sin(

π

3

x+

5

6

π)

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的定義域和值域，考查計算能力，是基礎題．