Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為，點P（2，3）、A、B在該橢圓上，線段AB的中點T在直線OP上，且A、O、B三點不共線．
（I）求橢圓的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設橢圓的方程為，則，由此能導出橢圓的方程．設直線AB的方程為y=kx+t，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由，得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由根的判別式能夠導出直線AB的斜率．
（II）設直線AB的方程為，即x+2y-2t=0，由得x²-tx+t²-12=0，由根的判別式和點到直線距離公式能夠導出△PAB面積的最大值．
解答：解：（I）設橢圓的方程為，
則，得a²=16，b²=12．
所以橢圓的方程為．…（3分）
設直線AB的方程為y=kx+t（依題意可知直線的斜率存在），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由，
得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由△＞0，得b²＜12+16k²，，設T（x，y），易知x≠0，
由OT與OP斜率相等可得，即，
所以橢圓的方程為，直線AB的斜率為．…（6分）
（II）設直線AB的方程為，即x+2y-2t=0，
由
得x²-tx+t²-12=0，△=t²-4（t²-12）＞0，-4＜t＜4．…（8分）.．
點P到直線AB的距離為．
于是△PAB的面積為…（10分）
設f（t）=（4-t）³（12+3t），f'（t）=-12（t-4）²（t+2），其中-4＜t＜4．
在區間（-2，4）內，f'（t）＜0，f（t）是減函數；在區間（-4，-2）內，f'（t）＞0，f（t）是增函數．
所以f（t）的最大值為f（-2）=6⁴．于是S_△PAB的最大值為18．…（12分）
點評：本題考查橢圓的方程及直線AB的斜率，求△PAB面積的最大值．解題時要認真審題，注意根的判別式和點到直線距離公式的靈活運用．