Question

（本題滿分12分）

如圖，有一正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以直線AD為對稱軸，以線段的中點為頂點的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形．若正方形的邊長為2米，問如何畫切割線，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：以為原點，直線為軸，

建立如圖所示的直角坐標系，依題意

可設拋物線弧的方程為

∵點的坐標為，

∴，

故邊緣線的方程為. ……4分

要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設切點坐標為，

∵，

∴直線的的方程可表示為，即，…………6分

由此可求得，.

∴，，…8分

設梯形的面積為，則

.  ……………………………………………………………10分

∴當時，，

故的最大值為.  此時.………11分

答：當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.   ………………………………………………………………………12分

解法二：以為原點，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，依題意可設拋物線弧的方程為

∵點的坐標為，

∴， 

故邊緣線的方程

為. ………4分

要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設切點坐標為，

∵，

∴直線的的方程可表示為，即，…6分

由此可求得，.

∴，，……………7分

設梯形的面積為，則

.  ……………………………………………………………10分

∴當時，，

故的最大值為.  此時.………11分

答：當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.   ………………………………………………………………………12分

 

【解析】略