Question

29、設f（x）是定義在R上的函數，對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求證f（x）為奇函數；
（3）若函數f（x）是R上的增函數，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可構造一個關于f（0）的方程，解方程即可得到答案；
（2）令y=-x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（-x）與f（x）的關系，結合函數奇偶性的定義即可得到結論；
（3）由f（1）=1，我們根據f（x+y）=f（x）+f（y），易得f（2）=2，故可將f（2a）＞f（a-1）+2轉化為一個關于a的二次不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）令y=x=0得
f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）→f（-x）=-f（x）
又函數的定義域為R
∴f（x）為奇函數
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y）又f（1）=1
∴2=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）
∴f（2a）＞f（a-1）+2即為f（2a）＞f（a-1）+f（2）
又f（a-1）+f（2）=f（a-1+2）=f（a+1）
∴f（2a）＞f（a+1）
又函數f（x）是R上的增函數
∴2a＞a+1得a＞1
∴a的取值范圍是{a|a＞1}

點評：本題考查的知識點是抽象函數函數值的求法，單調性的判斷及單調性的應用，其中抽象函數“湊”的思想是解答的關鍵．