Question

已知函數f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，實數m，n為常數）．
（1）若n+3m²=0（m＞0），且函數f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值為0，求m的值；
（2）若對于任意的實數a∈[1，2]，b-a=1，函數f（x）在區間（a，b）上總是減函數，對每個給定的n，求m的最大值h（n）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導，求函數在已知區間上的極值，注意極值點是否在定義域內，進行分類討論，確定最值；（2）函數在區間上單調遞減，轉化為導函數小于等于0恒成立，再轉化為二次函數根的分布問題．
解答：解：（1）當n+3m²=0時，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
則．
令f′（x）=0，得（舍），x=m．（3分）
①當m＞1時，

∴當x=m時，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得．（5分）
②當0＜m≤1時，f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
f（x）在x∈[1，+∞）上為增函數，當x=1時，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．綜上所述，所求m為．（7分）
（2）∵對于任意的實數a∈[1，2]，b-a=1，
f（x）在區間（a，b）上總是減函數，則對于x∈（1，3），
＜0，
∴f′（x）≤0在區間[1，3]上恒成立．（9分）
設g（x）=2x²+mx+n，∵x＞0，
∴g（x）≤0在區間[1，3]上恒成立．
由g（x）二次項系數為正，得
即亦即（12分）
∵（-n-2）=，
∴當n＜6時，m≤，當n≥6時，m≤-n-2，（14分）
∴當n＜6時，h（n）=，
當n≥6時，h（n）=-n-2，即（16分）
點評：（1）利用導數求函數的最值問題，體現了分類討論的數學思想，是難點；（2）題意的理解與轉化是難點，在解答此題中用到了數形結合的數學思想．