Question

（14分）已知函數f（x）=ax2+bx+1（a，b為為實數），x∈R．

   （1）若函數f（x）的最小值是f（－1）=0，求f（x）的解析式；

   （2）在（1）的條件下，f（x）>x+k在區間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍；

   （3）若a>0，f（x）為偶函數，實數m，n滿足mn<0，m+n>0，定義函數

，試判斷F（m）+F（n）值的正負，并說明理由．

Answer 1

（1）x2+2x+1     （2）（－∞，1）    （3）略

解析:

（1）由已知a－b+1=0，且－=－1，解得a=1，b=2，

∴函數f（x）的解析式是f（x）=x2+2x+1；

   （2）在（1）的條件下，f（x）>x+k，即x2+x+1－k>0，

從而k<x2+x+1在區間[－3，－1]上恒成立，

此時函數y= x2+x+1在區間[－3，－1]上是減函數，且其最小值為1，

∴k的取值范圍為（－∞，1）；

   （3）∵f（x）是偶函數，∴b=0，∴f（x）=ax2+1，

由mn<0知m、n異號，不妨設m>0，則n<0，又由m+n>0得m>－n>0，

F（m）+F（n）=f（m）－f（n）=am2+1－（an2+1）=a（m2－n2），

由m>－n>0得m2>n2，又a>0，得F（m）+F（n）>0，

∴F（m）+F（n）的值為正．