Question

【題目】數列{an}中，定義：dn=an+2+an﹣2an+1（n≥1），a1=1．
（1）若dn=an ， a2=2，求an；
（2）若a2=﹣2，dn≥1，求證此數列滿足an≥﹣5（n∈N*）；
（3）若|dn|=1，a2=1且數列{an}的周期為4，即an+4=an（n≥1），寫出所有符合條件的{dn}．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an=dn=an+2+an﹣2an+1（n≥1），

∴an+2﹣2an+1=0（n≥1）；

又∵a1=1，a2=2，

∴數列是以1為首項，2為公比的等比數列，

故數列{an}的通項公式為 ；

（2）解：證明：∵dn≥1，

∴an+2+an﹣2an+1≥1，

令cn=an+1﹣an，則

cn+1﹣cn≥1，

疊加得，cn≥n﹣4；

即an+1﹣an≥n﹣4，

疊加可得， ≥﹣5．

（3）解：由于|dn|=1，a1=1，a2=1，

若d1=1，則可得a3=2，

若d1=﹣1可得a3=0；

同理，若d2=1可得a4=4或a4=2，

若d2=﹣1可得a4=0或a4=﹣2；

具體如下表所示，

1，1， ；

所以{an}可以為1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…

或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…

此時相應的{dn}為1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，…

或﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，…．

【解析】（1）化簡可得an+2﹣2an+1=0（n≥1）；從而檢驗可得數列是以1為首項，2為公比的等比數列，從而求得；（2）由dn≥1，構造cn=an+1﹣an ， 從而可得cn+1﹣cn≥1，從而可得an+1﹣an≥n﹣4，從而可得 ≥﹣5．（Ⅲ）由|dn|=1，a1=1，a2=1討論求a3 ， a4 ， a5 ， 從而歸納可得．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．