Question

【題目】如圖，矩形所在的平面垂直于平面，為的中點，，，，.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)即可求解異面直線所成角的余弦值；

（2）分別求出兩個半平面的法向量，利用法向量的夾角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.

矩形所在的平面垂直于平面，為的中點，在平面內(nèi)過作的垂線交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，

同理在平面內(nèi)過作的垂線交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，所以兩兩互相垂直，

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，所以，

易得，

（1）由上述點坐標(biāo)可知，，所以直線與所成角的余弦值；

（2）因為，設(shè)平面的法向量為，則

解得，取，可得，

設(shè)平面的法向量為，則

解得，取，可得，

設(shè)二面角的平面角為，則，

所以.