Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數n，都有a_n=5S_n+1成立，記．
（I）求數列{b_n}的通項公式；
（II）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N^*），設數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：對任意正整數n都有；

（III）設數列{b_n}的前n項和為R_n．已知正實數λ滿足：對任意正整數nR_n≤λ_n恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=5a₁+1，∴
又∵a_n=5a_n+1，a_n+1=5a_n+1+1
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即
∴數列a_n成等比數列，其首項，公比是
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
=
又，∴
當n=1時，
當n≥2時，
=


（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n為大于1的奇數時，設n=2k+1（k∈N⁺）
則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1
=
=
＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對一切大于1的奇數n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對滿足的正奇數n成立，矛盾．
另一方面，當λ=4時，對一切的正整數n都有R_n≤4n
事實上，對任意的正整數k，有

=
=
∴當n為偶數時，設n=2m（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）
＜8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m
當n為奇數時，設n=2m-1（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對一切的正整數n，都有R_n≤4n
綜上所述，正實數λ的最小值為4
分析：（Ⅰ）由題設條件能導出a_n+1-a_n=5a_n+1，即，所以，∴．
（Ⅱ）由，知=，當n=1時，；當n≥2時，
．
（Ⅲ）由知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1==＞4n-1．由此入手能推導出正實數λ的最小值為4．
點評：本題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．