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下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中的四個命題:
①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條;
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
3
3

③從8個頂點(diǎn)中取四個點(diǎn)可組成 10 個正三棱錐;
④點(diǎn)A1到直線BC1的距離是
6
3

其中真命題的編號是
 
分析:①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條,由棱柱的面對角線的夾角與位置關(guān)系進(jìn)行判斷;
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
3
3
,求出線面角時行驗證;
③從8個頂點(diǎn)中取四個點(diǎn)可組成 10 個正三棱錐,所組成的正三棱錐只能是三個面對角線組成的三角形為底面,有此特征即可驗證;
④點(diǎn)A1到直線BC1的距離是
6
3
,求出點(diǎn)到線的距離時行驗證.
解答:解:精英家教網(wǎng)①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條,由圖形中可以看出除了其所在面以及平行的兩個面外的四個表面中每個面的兩條面對角線都與AD1成60°角,恰有8條,故命題正確;
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
3
3
,取底面ABCD中點(diǎn)O,可證得∠AA1O即是線AA1與平面A1BD所成角,求得線面角的余弦值為
6
3
,故此命題不對;
③從8個頂點(diǎn)中取四個點(diǎn)可組成 10 個正三棱錐,由圖形的結(jié)構(gòu)知,以8個頂點(diǎn)為頂點(diǎn),以此點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱為側(cè)棱可以 組成8個正三棱錐,由面對角線可以組成兩個正四面體,共可以組成10個正三棱錐,故命題正確;
④點(diǎn)A1到直線BC1的距離是
6
3
,由于A1B1⊥側(cè)面B1C,且側(cè)面是正方形,連接B1C與BC1交于一點(diǎn)M,由正方形的性質(zhì)知,此兩直線垂直,連接A1M其長度即為所求點(diǎn)A1到直線BC1的距離,利用勾股定理解得,其長度是
6
2
,故命題不正確.
綜上知①③正確
故答案為:①③.
點(diǎn)評:本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征,解題的關(guān)鍵是對棱柱中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系有著很好的理解,空間想像力比較強(qiáng),才可以迅速找到判斷問題的思路,代且圖象研究此類問題是一個較好的辦法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1敘述正確的是
②④⑤
②④⑤

①任取四個頂點(diǎn),共面的情況有8種;
②任取四個頂點(diǎn)順次連接總共可構(gòu)成10個正三棱錐;
③任取六個表面中的兩個,兩面平行的情況有5種;
④如圖把正方體展開,正方體原下底面A1B1C1D1與標(biāo)號4對應(yīng);
⑤在原正方體中任取兩個頂點(diǎn),這兩點(diǎn)間的距離在區(qū)間(
10
2
3
)
內(nèi)的情況有4種.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中的四個命題:
①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條;
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
3
3

③從8個頂點(diǎn)中取四個點(diǎn)可組成 10 個正三棱錐;
④點(diǎn)A1到直線BC1的距離是
6
3

其中真命題的編號是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年四川省成都市鹽道街中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:填空題

下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中的四個命題:
①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條;
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
③從8個頂點(diǎn)中取四個點(diǎn)可組成 10 個正三棱錐;
④點(diǎn)A1到直線BC1的距離是
其中真命題的編號是   

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年安徽省皖南八校聯(lián)考高三摸底數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1敘述正確的是   
①任取四個頂點(diǎn),共面的情況有8種;
②任取四個頂點(diǎn)順次連接總共可構(gòu)成10個正三棱錐;
③任取六個表面中的兩個,兩面平行的情況有5種;
④如圖把正方體展開,正方體原下底面A1B1C1D1與標(biāo)號4對應(yīng);
⑤在原正方體中任取兩個頂點(diǎn),這兩點(diǎn)間的距離在區(qū)間內(nèi)的情況有4種.

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