Question

設(shè)函數(shù)，
（1）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）試用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]單調(diào)遞減；
（3）試判斷（不必證明）函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）可判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）可設(shè)0＜x₁＜x₂≤a，然后作差后化為乘積，，結(jié)合題意討論每個因式的符號，利用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞減；
（3）利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞減；在[a，+∞）上單調(diào)遞增；從而可判斷在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．
解答：解：（1）證明：因為f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且，
故f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂≤a，則．
因為0＜x₁＜x₂≤a，所以0＜x₁x₂＜a²，從而且x₁-x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞減；同理可以證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）∵f（x）是奇函數(shù)；在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-a]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-a，0）上單調(diào)遞減，
綜上所述：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-a]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-a，0）上單調(diào)遞減，在（0，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，著重考查學(xué)生對定義法判斷函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的掌握，及對函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．