Question

已知直線l：x-2y-5=0與圓O：x²+y²=50相交于點A，B，求：
（1）交點A，B的坐標；
（2）△AOB的面積；
（3）圓心角AOB的余弦．

Answer 1

分析：（1）聯立直線l與圓O方程組成方程組，求出方程組的解即可確定出A與B的坐標；
（2）由A與B坐標確定出直線AB解析式，求出原點O到直線AB的距離d，再利用兩點間的距離公式求出AB的長，即可確定出三角形AOB的面積；
（3）利用余弦定理表示出cos∠AOB，求出OA與OB的長，再由AB的長，代入計算即可求出值．

解答：解：（1）由方程組

x-2y-5=0 x2+y2=50

，
消去x得y²+4y-5=0，解得：y₁=1，y₂=-5，
∴

x=7 y=1

或

x=-5 y=-5

，
則點A，B的坐標分別為（7，1），（-5，-5）；
（2）由（1）知直線AB的方程為x-2y-5=0，
∵圓O的圓心為坐標原點O，半徑為5

2

，
∴原點O到直線AB的距離為d=

5

5

=

5

，
又AB=

[7-(-5)]2+[1-(-5)]2

=6

5

，
則△AOB的面積為S=

1

2

×6

5

×

5

5

=15；
（3）∵OA=5

2

，OB=5

2

，AB=6

5

，
∴cos∠AOB=

OA2+OB2-AB2

2OA•OB

=-

4

5

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，余弦定理，以及直線與圓交點坐標，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．