Question

在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，底面ABCD是菱形，∠A＝60°，E是AD的中點，F是PC的中點．

(Ⅰ)求證：BE⊥平面PAD；

(Ⅱ)求證：EF∥平面PAB；

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)證明：∵AB＝2，∴AE＝1，

∴BE²＝AB²＋AE²－2AB·AE·cos ∠A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，

∴AE²＋BE²＝1＋3＝4＝AB²，∴BE⊥AE.

又平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，

∴BE⊥平面PAD.

 

 

(Ⅱ)證明：取BC的中點G，連接GE，GF.則GF∥PB，EG∥AB，

又GF∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.

(Ⅲ)解：∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC.

∴點A到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離．

因為平面PBE⊥平面PBC.

又平面PBE∩平面PBC＝PB，

作EO⊥PB于O，則EO是E到平面PBC的距離，

且PE＝＝1，BE＝，∴PB＝2.

由EO·PB＝PE·EB，

 

 

∴EO＝＝.

【解析】略