Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）試判斷A₁A與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；
（2）求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：解法一：如圖建立空間直角坐標系，
（1）有條件知，（1分）
由面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知（2分）
，
∵（3分）
∴與不垂直，即AA₁與BC不垂直，
∴AA₁與平面A₁BC不垂直（5分）

（2）由ACC₁A₁為平行四邊形，
知==（7分）
設平面BB₁C₁C的法向量，
由
令，則（9分）
另外，平面ABC的法向量=（0，0，1）（10分）

所以側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為（12分）

解法二：（1）取AC中點D，連接A₁D，則A₁D⊥AC．
又∵側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，交線為AC，
∵A₁D⊥面ABC（2分）
∴A₁D⊥BC．
假設AA₁與平面A₁BC垂直，則A₁D⊥BC．
又A₁D⊥BC，由線面垂直的判定定理，
BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，這樣在△ABC中
有兩個直角，與三角形內角和定理矛盾．假設不
成立，所以AA₁不與平面A₁BC垂直（5分）

（2）側面BB₁C₁C與底面ABC所成的銳二面角即為側面BB₁C₁C與A₁B₁C₁底面所成的銳二面角．
過點C作A₁C₁的垂線CE于E，則CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE．
過點E作B₁C₁的垂線EF于F，連接CF．
因為B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF
所以∠CFE即為所求側面BB₁C₁C與地面A₁B₁C₁所成的銳二面角的平面角（9分）
由，得
在Rt△ABC中，cos∠
所以，側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為（12分）
分析：法一：（1）建立空間直角坐標系，求出相關向量，利用數量積=0判定A₁A與平面A₁BC是否垂直；
（2）利用平面的法向量的數量積求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值．
法二：（1）利用反證法證明A₁A與平面A₁BC不垂直；
（2）利用三垂線定理，作出二面角的平面角，然后求解即可．
點評：本題考查直線與直線的垂直的判定，二面角的余弦值，考查空間想象能力，邏輯思維能力，幾何問題代數化，是中檔題．