Question

已知函數f（x）=x³+3ax²+3bx在x=2處有極值，且其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求a，b的值；   
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，根據函數f（x）在x=2取得極值，說明導函數在x=2時值為0，再根據其圖象在x=1處的切線斜率為-3，列出方程組即可求出a、b的值；
（2）令f′（x）＞0，可求出函數的單調增區間，令f′（x）＜0，可求出函數的單調減區間．

解答：解：∵f′（x）=3x²+6ax+3b，函數f（x）在x=2取得極值，
∴f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0，即4a+b+4=0…①，
∵圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴f′（1）=3•1²+6a•1+3b=-3，即2a+b+2=0…②，
聯解①②可得a=-1，b=0；
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
當f′（x）＞0時，解得x＜0或x＞2；當f′（x）＜0時，解得0＜x＜2，
∴函數的單調增區間是 （-∞，0）和（2，+∞）；函數的單調減區間是（0，2）．

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，以及利用導數研究函數的單調區間，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．