Question

（2012•淄博一模）已知數列{a_n}中，a₁=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N^*）．
（I）證明：數列{

an-1

2n

}為等差數列；
（II）求數列{a_n-1}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明數列{

an-1

2n

}為等差數列，只要證明

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=d（d 為常數）即可
（Ⅱ）由等差數列的通項公式可求

an-1

2n

，進而可求a_n-1，利用錯位相減可求數列的和

解答：（I）證明：∵a₁=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N^*）
∴an-1=2(an-1-1)+2n
∴

an-1

2n

=

2(an-1-1)+2n

2n

∴

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1
∵

a1-1

2

=2
∴數列{

an-1

2n

}是以2為首項，以1為公差的等差數列
（II）由（I）可得，

an-1

2n

=2+（n-1）=n+1
∴a_n-1=（n+1）•2ⁿ
∴S_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ
 2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1
=4+2ⁿ⁺¹-4-（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴Sn=n•2n+1

點評：本題主要考查了數列的遞推公式在數列的通項公式的求解中的應用，等差數列的通項公式的求解及錯位相減求和方法的應用．