Question

已知f(x)=

1

4x+m

 (m＞0)，當x₁、x₂∈R且x₁+x₂=1時，總有f(x1)+f(x2)=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）設數(shù)列{a_n}滿足an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，求{a_n}的通項公式；
（3）對?n∈N^*，

kn

an

＜

kn+1

an+1

恒成立，求k的取值范圍（其中k＞0且k≠1）．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)題意，取x1=x2=

1

2

得

1

4 +m

=

1

4

，由此能求出m的值．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

0

n

)，由此能夠求出an=

n+1

4

．
（3）由

kn

an

＜

kn+1

an+1

得k＞

an+1

an

=

n+2

n+1

=1+

1

n+1

，由此能夠求出實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，取x1=x2=

1

2

，
得f(

1

2

)=

1

4

，
即

1

4 +m

=

1

4

，
所以m=2．
當m=2時，?x₁、x₂∈R，x₁+x₂=1，
有f(x1)+f(x2)=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

=…=

4+(4x1+4x2)

4x1+x2+2(4x1+4x2)+4

=

1

2

，
所以m=2．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，
an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

0

n

)
兩式相加，并由已知得2an=

n+1

2

，
所以an=

n+1

4

．
（3）由

kn

an

＜

kn+1

an+1

，
得k＞

an+1

an

=

n+2

n+1

=1+

1

n+1

，
?n∈N*，1+

1

n+1

≤1+

1

2

=

3

2

，
等號當且僅當n=1時成立，
所以k的取值范圍是k＞

3

2

．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，其中：（1）是恒等、定值問題；（2）是根據(jù)（1）用倒序相加求數(shù)列通項；（3）是分離變量并求它的取值范圍．對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．