Question

已知函數，判斷下列三個命題的真假：
①f（x）＜1；
②x=0為f（x）的一個極大值點；
③當x∈（0，2π）時，f（x）沒有極值點．其中真命題的個數是

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

B
分析：對于①針對函數的性質，只須考慮當0＜x＜時的函數值即可，再利用單位圓中的三角函數線，通過面積關系證明sinx＜x；
對于②③，利用商的導數運算法則及基本初等函數的導數公式，求出函數的導數，然后根據導函數的符號確定函數的單調性即可得到結論．
解答：①針對函數的性質，只須考慮當0＜x＜時的函數值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S_△OAN＜S_扇形OAN，
設的長為l，則x==1，
∴ON•MA＜ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴，故①正確；
②因為x為0時分母無意義，所以x=0不能為f（x）的一個極大值點，故②錯誤；
③由于函數的導數，
當x時，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，
當時，xcosx-sinx＞0，即f'（x）＞0，則函數在時取得極值，故③錯誤．
故答案選 B．
點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數、導數的一些性質，我們可以根據三角函數和導數的常用結論對三個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．