Question

已知等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），等比數列{b_n}的公比為q（q>1），設S_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，T_n=a₁b₁-a₂b₂+…+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N*。
（1）若a₁=b₁=1，d=2，q=3，求S₃的值。
（2）若b₁=1，證明：（1-q）S_2n-（1+q）T_2n=，n∈N*。
（3）若正整數n滿足2≤n≤q，設k₁，k₂，…k_n和l₁，l₂，…l_n是1，2，…，n的兩個不同的排列，c₁=，c₂=，證明c₁≠c₂。

Answer 1

解：（1）由題設，可得

所以；
（2）由題設，可得

則

①式減去②式，得

①式加上②式，得

③式兩邊同乘q，得

所以

；
（3）證明：

因為d≠0，b₁≠0，
所以
（i）若k_n≠l_n，取i=n
（ii）若k_n=l_n，取i滿足
由（i），（ii）及題設知，1＜i≤n，且



即

又
所以

因此
即。
②當時，同理可得

因此
綜上。