Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一（Ⅰ）連接BD，證明平面PBE內的直線BE，垂直平面PAB內的兩條相交直線PA，AB即可證明平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連接PF．過點A作AH⊥PB于H，∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）．
解Rt△AHG求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．

法二：以A為原點，建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）由，與平面PAB的一個法向量是=（0，1，0），
共線，說明BE⊥平面PAB，推出平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求出平面PBE的一個法向量，平面PAD的一個法向量，求兩個向量的數量積，即可求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．
解答：解：解法一（Ⅰ）如圖所示，連接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形．
因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，
所以BE⊥AB．又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連接PF．過點A作AH⊥PB于H，
由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．
在Rt△ABF中，因為∠BAF=60°，
所以，AF=2AB=2=AP．
在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG．
則AG⊥PF．連接HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG．
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）．
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二：如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系．
則相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），
，，P（0，0，2），
（Ⅰ）因為，
平面PAB的一個法向量是，
所以共線．從而BE⊥平面PAB．
又因為BE?平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知，
設是平面PBE的一個法向量，
則由
得
所以y₁=0，x₁=2z₁．故可取=（2，0，1）．
設是平面PAD的一個法向量，
則由
得
所以故可取．
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．