Question

將一輕質彈簧的兩端分別固定在正方體物體A、B表面的中央，把正方體物體B放在水平桌面上，當物體A、B靜止時，彈簧的長度比其原長縮短了5cm，如圖甲所示．現將物體A、B 上下倒置，并將它們放入水平桌面上的平底圓柱形容器內，使物體A與容器底接觸（不密合），再向容器中緩慢倒入一定量的某種液體，待物體A、B靜止時，物體B上表面與液面平行，且有體積露出液面，此時容器底對物體A的支持力為1N．已知物體A、B的邊長分別為5cm、10cm，物體A、B的密度之比為16：1，圓柱形容器的底面積為150cm²，彈簧原長為10cm，彈簧所受力F的大小與彈簧的形變量△x（即彈簧的長度與原長的差值的絕對值）的關系如圖乙所示．上述過程中彈簧始終在豎直方向伸縮，且撤去其所受力后，彈簧可以恢復原長．不計彈簧的體積及其所受的浮力，g取10N/kg，則容器內倒入液體的質量是    kg．

Answer 1

【答案】分析：根據彈簧所受力F的大小與彈簧的形變量△x和彈簧的縮短量求出物體A的重力和質量，進而可求物體A、B的密度；
然后分別分析A、B的受力情況，列出關于合力為零的等式，求出彈簧對物體的拉力求出浮力，
解答：解：由圖乙可知：彈簧所受力F的大小與彈簧的形變量△x的關系式是2N/cm，則彈簧的長度比其原長縮短了5cm時彈簧的壓力為5cm×2N/cm=10N，則G_A=10N，
∵V_A=L_A³=（0.05m）³=1.25×10^-4m³，
根據密度公式得：ρ_A===8000kg/m³，
∵ρ_A：ρ_B=16：1，
∴ρ_B=ρ_A=×8×10³kg/m³=500kg/m³，
∵V_B =L_B³=（0.1m）³=1×10^-3m³，
∴G_B=ρ_B gV_B=500kg/m³×10N/kg×1×10^-3m³=5N，
當將物體A、B上下倒置放入容器中，則A、B受力分析如圖：

則：G_A=N+F+F_浮A-------①
G_B+F=F_浮B-------------②
解得：F_浮A+F_浮B=G_A+G_B-N=10N+5N-1N=14N，
∵F_浮A+F_浮B=ρ_液g（V_A+V_B），
則ρ_液==≈0.9×10³kg/m³，
∴F=F_浮B-G_B=ρ_液gV_B-G_B=0.9×10³kg/m³×10N/kg×1×10^-3m³-5N=4N，
根據彈簧所受力F的大小與彈簧的形變量△x的關系式是2N/cm，則彈簧的壓力為4N，則彈簧的伸長△L=2cm；
則液體的深度為h=L_A+L+△L+L_B=5cm+10cm+2cm+10cm=27cm=0.27m，
V_液=sh-V_A-V_B=0.015m²×0.27cm-1.25×10^-4m³-1×10^-3m³≈3.04×10^-3m³
所以，液體質量為m=ρ_液V_液=0.9×10³kg/m³×3.04×10^-3m³=2.73kg．
故答案為：2.73．
點評：本題考查阿基米德原理的應用，重點是能分析物體A、B的受力情況，知道彈簧的伸長會引起液體的深度增加．