Question

（2007•無錫二模）已知函數f(x)=cos2ωx+sinωxcosω-

1

2

(ω＞0)最小正周期為π．
（1）求f（x）在區間[-

π

2

，

π

8

]上的最小值；
（2）求函數f（x）圖象上與坐標原點最近的對稱中心的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式對函數化簡，根據周期公式求ω的值，結合正弦函數的性質研究函數的最值及取得最值的條件；
（2）根據（1）中求的函數的解析式，令2x+

π

4

=kπ，解出x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，令k分別取0，1，比較大小，即可求得結果．

解答：解：（1）f(x)=cos2ωx+sinωx•ωx-

1

2

=

1

2

(cos2ωx+1)+

1

2

sin2ωx-

1

2

=

2

2

sin(2ωx+

π

4

)．
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)．
∵當-

π

2

≤x≤

π

8

時，-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

．
∴當2x+

π

4

=-

π

2

時，f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)取得最小值為-

2

2

．
（2）令2x+

π

4

=kπ，得x=

kπ- π 4

2

=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z
∴當k=0時，x=-

π

8

，當k=1時，x=

3π

8

，
∴滿足要求的對稱中心為(-

π

8

，0)．

點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式把不同名的三角函數含為一個角的三角函數，進而研究三角函數的性質：周期性及周期公式，函數的最值的求解．屬中檔題．