Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．求異面直接PD與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點D，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

解答：解：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

，
由平面幾何知識得：OD=1，PD=

3

，PB=

6

過D做DE∥BC交于AB于E，連接PE，則∠PDE或其補角為異面直線PD與BC所成的角，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB
∴BC=

5

，AB=2

2

，CD=

2

又AB∥DC
∴四邊形EBCD是平行四邊形．
∴ED=BC=

5

，BE=CD=

2

∴E是AB的中點，且AE=

2

又PA=PB=

6

，
∴△PEA為直角三角形，
∴PE=

PA2-AE2

=

6-2

=2
在△PED中，由余弦定理得cos∠PDE=

PD2+DE2-PE2

2PD•DE

=

3+5-4

2• 3 • 5

=

2 15

15

故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為

2 15

15

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．