如圖,三棱錐P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點,且CD
平面PAB
(1)求證:AB平面PCB;
(2)求異面直線AP與BC所成角的大小;
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。
(1) PC
平面ABC,AB
平面ABC,
PC
AB,
CD
平面PAB,AB
平面PAB,
CD
AB。又
,
AB
平面PCB (2)
(3)
【解析】
試題分析:(1) PC
平面ABC,AB
平面ABC,
PC
AB,
CD
平面PAB,AB
平面PAB,
CD
AB。又
,
AB
平面PCB
(2)由(1)AB 平面PCB ,
PC=AC=2, 又
AB=BC,
可求得BC=
以B為原點,如圖建立空間直角坐標系,
則A(0,,0),B(0,0,0), C(
,0,0) P(
,0,2)
=(
,-
,2),
=(
,0,0) 則
=
+0+0=2
異面直線AP與BC所成的角為
(3)設平面PAB的法向量為m=(x,y,z)=(0,-
,0),
=(
,
,2)
則,即,得m=(
,0,-1)設平面PAC的法向量為n=(x,y,z)
=(0,0,-2),
=(
,-
,0),則
得n=(1,1,0)cos<m,n>=
二面角C-PA-B大小的余弦值為
考點:線面垂直的判定及異面直線所成角,二面角
點評:線面垂直的判定定理:一條直線垂直于平面內兩條相交直線,則直線垂直于平面,向量法求兩直線所成角,二面角時首先找到直線的方向向量和平面的法向量,通過求解向量夾角的到相應角
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PA |
AB |
PA |
AC |
AB |
AC |
PA |
AC |
AB |
|
| ||
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