Question

定義閉集合S：若a，b∈S，則a+b∈S，a-b∈S．
（1）舉一例，真包含于R的無限閉集合；
（2）求證：對任意兩個比集合S₁，S₂，S₁⊆R，S₂⊆R，存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

Answer 1

分析：（1）根據閉集合S的定義進行舉例即可；
（2）根據閉集合S的定義進行證明．

解答：解：（1）根據閉集合S的定義可知：整數集滿足條件．
（2）證明：若?c∈R，均由c∈S₁∪S₂．則R⊆S₁∪S₂．
因此S₁∪S₂=R，
∵S₁⊆R，S₂⊆R，
則一定有a∈R，使得a∈S₁，a∉S₂．一定有存在b∈R，b∈S₂．而b∉S₁．
∴a+b∈R，a+b∈S₁∪S₂，
①若a+b∈S₁，a∈S₁，則必有（a+b）-a=b∈S₁，矛盾．
②若a+b∈S₂，b∈S₂，則必有（a+b）-b=a∈S₂，矛盾．
因此假設不成立，
∴存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

點評：本題主要考查與集合有關的新定義，正確理解定義的含義是解決本題的關鍵．