Question

設a為非零實數，則關于函數f（x）=x²+a|x|+1，x∈R的以下性質中，錯誤的是（ ）
A．函數f（x）一定是個偶函數
B．函數f（x）一定沒有最大值
C．區間[0，+∞）一定是f（x）的單調遞增區間
D．函數f（x）不可能有三個零點

Answer 1

【答案】分析：根據偶函數的定義，判斷f（-x）=f（x）則函數為偶函數；根據函數圖象開口向上，函數沒有最大值；取特殊值法，然后結合函數圖象，判定單調遞增區間；把函數轉化成方程解的問題解答即可．
解答：解：（1）∵-x∈R
∴f（-x）=（-x）²+a|-x|+1=x²+a|x|+1=f（x）
∴函數f（x）一定是個偶函數．
（2）∵二次函數f（x）=x²+a|x|+1，開口向上，所以函數f（x）一定沒有最大值．

（3）令a=-2，則f（x）=x²-2|x|+1畫出如上圖所示的函數圖象，可知在區間[0，∞]不是f（x）的單調遞增區間，所以C項錯誤．
（4）方程x²+ax+1=0，△=a²-4≥-4，此方稱可能無解、一個解或者兩個解，所以函數f（x）=x²+a|x|+1可能無零點、兩個零點、或者四個零點．
故選C．
點評：本題考查了二次函數的奇偶性，通過圖象觀察最值以及單調性，數形結合有助于我們的解題，形象直觀．