Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=．
（1）求證：BC⊥AC₁；
（2）若D是AB的中點，求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明BC⊥AC，BC⊥CC₁，AC、CC₁是平面ACC₁A₁內的兩條相交直線，即可證明BC⊥平面ACC₁A₁，從而證明BC⊥AC₁；
（2）D是AB的中點，連接BC₁交B₁C于M，連接DM，證明DM∥AC₁，即可證明AC₁∥平面CDB₁．
解答：證明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，
cos∠BAC=，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•
cos∠BAC=25+9-2×5×3×=16．
∴BC=4，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．

（2）連接BC₁交B₁C于M，則M為BC₁的中點，
連接DM，則DM∥AC₁，
∵DM?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與直線的垂直，是基礎題．