Question

【題目】如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.

(1)求證：平面AEF⊥平面PBC.

(2)求二面角P-BC-A的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由線面垂直的定義，根據PA⊥平面ABC得PA⊥BC，結合AB⊥BC得BC⊥平面PAB，從而得出AE⊥BC，結合AE⊥PB證出AE⊥平面PBC，最后根據面面垂直判定定理，即可證出平面AEF⊥平面PBC；

（2）由（1）的結論得BC⊥AB且BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角，Rt△PAB中算出∠PBA=45°，即可得到二面角P﹣BC﹣A的大小。

試題解析：

(1)因為PA⊥平面ABC，又BC平面ABC，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，AB與PA相交于點A，

所以BC⊥平面PAB，又AE平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB與BC相交于點B，所以AE⊥平面PBC，又AE平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.

(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB平面PAB，

所以PB⊥BC，又AB⊥BC，

所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，

在Rt△PAB中，因為PA=AB，所以∠PBA=45°，

即二面角P-BC-A的大小為45°.