Question

已知函數f(x)=

x2+a

bx-c

  (b， c∈N*)，并且f（0）=0，f（2）=2，f(-2)＜-

1

2

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）是否存在各項均不為零的數列{a_n}，滿足4Snf(

1

an

)=1（S_n為數列{a_n}的前n項和）．若有，寫出數列的一個通項公式a_n，并說明滿足條件的數列{a_n}是否唯一確定；若無，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，得出關于a，b，c的不等式組，并注意b，c均為正整數，求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

x2

2x-2

．設存在各項均不為零的數列{a_n}，滿足4Snf(

1

an

)=1．則4S_n=2a_n-2a_n²，即2S_n=a_n-a_n^2，_再根據Sn與an的固有關系，得出（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0后，問題容易獲解．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由f（0）=0，得a=0．
由f（2）=2，f(-2)＜-

1

2

，得

2b-c=2 - 4 2b+c ＜- 1 2

 (b， c∈N*)，即

2b-c=2 2b+c＜8

 (b， c∈N*)．…（3分）
解得 b=c=2．
因此，a=0，b=c=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

x2

2x-2

．當x≠0且a_n≠1時，

1

f(x)

=

2

x

-

2

x2

，

1

f( 1 x )

=2x-2x2．
設存在各項均不為零的數列{a_n}，滿足4Snf(

1

an

)=1．則4S_n=2a_n-2a_n²，即2S_n=a_n-a_n²（a_n≠0且a_n≠1）．…（6分）
首先，當n=1時，a₁=S₁=-1；…（7分）
由 2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，2S_n=a_n-a_n²，得2a_n+1=2S_n+1-2S_n=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0．…（9分）
若 a_n+1+a_n=0，則由a₁=-1，得a₂=1，這與a_n≠1矛盾．…（10分）
若 a_n+1-a_n+1=0，則 a_n+1-a_n=-1．
因此，{a_n}是首項這-1，公差為-1的等差數列．
通項公式為 a_n=-n．
綜上可得，存在數列{a_n}，a_n=-n符合題中條件．…（11分）
由上面的解答過程可知，數列{a_n}只要滿足條件（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0即可．
因此，可以數列一部分滿足a_n+1-a_n=-1，另一部分滿足a_n+1+a_n=0，且保證a_n≠0且a_n≠1．
例如：數列-1，-2，2，-2，2，-2，2，…；
數列-1，-2，2，-2，-3，3，-3，-4，4，-4，…
因此，滿足條件的數列不唯一．…（14分）

點評：本題是函數與不等式、數列的綜合，考查不等式求解，函數值計算、數列的性質．考查計算、轉化、推理論證能力．