Question

（2013•江蘇一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），函數(shù)y=e^x的圖象與y軸的交點(diǎn)為B，P為函數(shù)y=e^x圖象上的任意一點(diǎn)，則

OP

•

AB

的最小值

1

．

Answer 1

分析：由題意可得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得

OP

•

AB

=-x₀+ex0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-x+e^x，通過求導(dǎo)數(shù)可得其極值，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得答案．

解答：解：由題意可知A（1，0），B（0，1），
故

AB

=（0，1）-（1，0）=（-1，1），
設(shè)P（x₀，ex0），所以

OP

=（x₀，ex0），
故

OP

•

AB

=-x₀+ex0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=-x+e^x，則g′（x）=-1+e^x，
令其等于0可得x=0，且當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
故函數(shù)g（x）在x=0處取到極小值，
故g_min（x）=g（0）=1，
故

OP

•

AB

的最小值為：1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，屬中檔題．