Question

關于函數f(x)=

(x-3)e-x，x≥0 2ax-3，x＜0

（a為常數，且a＞0），對于下列命題：
①函數f（x）在每一點處都連續；
②若a=2，則函數f（x）在x=0處可導；
③函數f（x）在R上存在反函數；
④函數f（x）有最大值

1

e4

；
⑤對任意的實數x₁＞x₂≥0，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
其中正確命題的序號是______．

Answer 1

①x=0時，（0-3）e⁰=-3，x=0時，2ax-3有意義，且2ax-3=-3，
∴函數f（x）在x=0處都連續，即函數f（x）在每一點處都連續；
∴①正確
②f′（x）=

e-x(4-x)  x≥0 2a         x＜0

（a＞0），
x=0時，e⁰（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函數f（x）在x=0處可導；
∴②正確
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函數，在[4，+∞）上是減函數，
∴函數f（x）在R上不存在反函數；
∴③錯誤
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4時，f′（x）＞0，x＞4時，f′（x）＜0，
∴x=4時，f（x）有最大值為f（4）=e^-4=

1

e4

；
∴④正確
⑤在函數f（x）[0，+∞）上任取兩點（x₁，f（x₁））（x₂，f（x₂））
∵f（x）的圖象在[0，+∞）上是上凸的，所以兩點連線應在圖象的下方，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

∴⑤錯誤．
故答案為①②④