Question

（2010•合肥模擬）已知四邊形ABCD是邊長為2

2

的正方形，E，F分別為BC，CD的中點，沿AE，AF，EF將△ABE，△ADF，△CEF向同側折疊且與平面y1+y2=

16t

t2+32

成直二面角，連接BD．
（1）求證BD⊥AC；
（2）求面AEF 與面ABE所成銳角的余弦值．

Answer 1

分析：方法一（1）以EF的中點O為原點，OA為x軸，OE為y軸，OC為z軸建立直角坐標系，寫出要用的點的坐標，在兩條直線上取方向向量，根據兩個向量的數量積得到兩條直線之間的關系．
（2）設出兩個平面的法向量，根據法向量與平面上的向量垂直，做出兩個數量積等于0的式子，求出一個法向量，根據兩個向量的夾角的余弦的絕對值等于所求的結果．
方法二：（1）做出輔助線過D作DH⊥AF于H，過B作BG⊥AE于G，根據兩個三角形全等得到線段之間的關系，得到線面垂直，根據線面垂直得到線與線垂直．
（2）根據面ABE⊥面AEF，面CEF⊥面AEF，得到面ABE與面CEF的交線必與面AEF垂直，故∠AEF為二面角平面角，再把二面角放到一個可解的三角形中求出角的余弦值．

解答：解：（1）方法一：以EF的中點O為原點，OA為x軸，OE為y軸，OC為z軸建立直角坐標系，則C（0，0，1），A（3，0，0），E（0，1，0），解正方形可得B(

3

5

，

4

5

，

2 10

5

)，D(

3

5

，-

4

5

，

2 10

5

)∴

AC

=（-3，0，1），

BD

=(0，-

8

5

，0)
∵

AC

•

BD

=0，∴

AC

⊥

BD

∴BD⊥AC
（2）∵OA⊥面CEF，∴面CEF的法向量為

OA

=（3，0，0）
設面ABE的法向量為

n

=（x，y，z）∵

n ⊥ EA n ⊥ EB

，
得

(x，y，z)•(3，-1，0)=0 (x，y，z)•( 3 5 ，- 1 5 2 10 5 )=0

⇒

3x-y=0 z=0

令x=1，得一個法向量為

n

=(1，3，0)，設銳二面角為θ
則cosθ=|

OA • n

| OA |•| n |

|=|

3

3• 10

|=

10

10

方法二（1）過D作DH⊥AF于H，過B作BG⊥AE于G．
∵△ABE≌△ADF，∴BG=DH
又面ABG⊥面AEF，∴DH⊥面AEF，∴BG∥DH
故四邊形BDHG為平行四邊形，∴BD∥GH
取EF中點為O，連CO、AO
則CO⊥EF，AO⊥EF，∴EF⊥面ACO
又GH∥EF，∴BD∥EF，∴BD⊥面ACO，∴BD⊥AC
（2）∵面ABE⊥面AEF，面CEF⊥面AEF
∴面ABE與面CEF的交線必與面AEF垂直，
故∠AEF為二面角平面角．
在△AEF中，AE=

10

，EF=2，
∴cos∠AEF=

EF 2

AE

=

1

10

=

10

10

故二面角的余弦值為

10

10

．

點評：本題考查線與線垂直和面與面的夾角，本題可以采用建立坐標系，把幾何證明轉化為向量之間的運算，也可以利用嚴格的推理過程利用幾何方法來解題．