Question

【題目】函數f（x）=﹣4x3+kx，對任意的x∈[﹣1，1]，總有f（x）≤1，則實數k的取值為 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：由題意得：kx≤4x3+1在[﹣1，1]恒成立，

x=0時，顯然成立，

x∈（0，1]時，問題轉化為k≤4x2+ 在（0，1]恒成立，

令g（x）=4x2+ ，x∈（0，1]，

g′（x）= ，

令g′（x）＞0，解得：x＞ ，

令g′（x）＜0，解得：x＜ ，

故g（x）在（0， ）遞減，在（ ，1]遞增，

故g（x）min=g（ ）=3，

故k≤3，

x∈[﹣1，0）時，問題轉化為k≥4x2+ 在[﹣1，0）恒成立，

令h（x）=4x2+ ，x∈[﹣1，0），

g′（x）= ＜0，

故g（x）在[﹣1，0）遞減，

故g（x）max=g（﹣1）=3，

故k≥3，綜上k=3，

所以答案是：3．

【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．