Question

已知函數f（x）=x+

1

x

+a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，則a的取值范圍是______．

Answer 1

存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，等價于存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9
∵函數f（x）=x+

1

x

+a²，ξ₁∈[

1

a

，a]（a＞1），∴f（x）=x+

1

x

+a²≥2+a²，即f（x）_min=2+a²；
∵g（x）=x³-a³+2a+1，∴g′（x）=3x²，∴函數g（x）在[

1

a

，a]（a＞1）上單調遞增，
∴g（x）_max=g（a）=2a+1
∴|2+a²-2a-1|≤9
∴-3≤a-1≤3
∴-2≤a≤4
∵a＞1，∴1＜a≤4．
故答案為：（1，4]．