Question

已知拋物線L的方程為x²＝2py(p>0)，直線y＝x截拋物線L所得弦長為.

(1)求p的值；

(2)若直角三角形ABC的三個頂點在拋物線L上，且直角頂點B的橫坐標為1，過點A、C分別作拋物線L的切線，兩切線相交于點D，直線AC與y軸交于點E，當直線BC的斜率在[3,4]上變化時，直線DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和此時直線BC的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)由解得M(0,0)，N(2p,2p)，

∴＝|MN|＝＝2p，∴p＝.

(2)由題意得B(1,1)，設A(x₁，)，C(x₂，)，k_AC＝＝x₁＋x₂，

設直線BC的斜率為k，則⇒x²－kx＋k－1＝0，且Δ＝k²－4k＋4≥0，

又1＋x₂＝k，得x₂＝k－1，故C(k－1，(k－1)²)，

由AB⊥BC得直線AB的斜率，進而得直線AB的方程，將AB的方程與拋物線方程聯立，

同理可得A(－－1，(＋1)²)，

k_AC＝x₁＋x₂＝k－－2，

直線AC的方程為y－(k－1)²＝(k－－2)[x－(k－1)]，

令x＝0，y＝k－，所以E(0，k－)，

直線AD的方程：y－x₁²＝2x₁(x－x₁)⇒y＝2x₁x－x₁²，

同理CD：y＝2x₂x－x₂²，聯立兩方程得

D((k－－2)，－k)，

k_ED＝＝

＝4＝－4(1＋)，

令u＝k－，則u在[3,4]上遞增，所以，當k＝4時，k_ED最大為－.

所以，直線BC的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.