Question

已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，沿著BC邊上的高AD將正三角形折起，使得平面ABD⊥平面ACD（如圖），則三棱錐A-BCD的體積為

3

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，證出AD⊥平面BCD且∠BDC=90°．正三角形中算出BD=CD=1且AD=

3

，得到△BCD的面積S_△BCD=

1

2

，利用錐體的體積公式即可算出三棱錐A-BCD的體積．

解答：解：∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D
∴AD⊥平面BCD，
∵平面ABD⊥平面ACD，且∠BDC是二面角B-AD-C的平面角
∴∠BDC=90°，
∵AD是邊長(zhǎng)為2的正三角形的高，可得BD=CD=1，AD=

3

∴△BCD的面積S_△BCD=

1

2

×1×1=

1

2

因此三棱錐A-BCD的體積V=

1

3

×S_△BCD×AD=

1

3

×

1

2

×

3

=

3

6

故答案為：

3

6

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面圖形的折疊，求三棱錐A-BCD的體積．著重考查了正三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．